分数のわり算は、何故わる数の逆数をかけて答えをだすのか。

By | 2014年11月7日

【注】 今日の記事では数式を使用していますが、数式が読み込まれるまで少し時間がかかる場合があります。特にスマホでは数秒かかりますがしばらく待てば正しく表示されると思います。

分数の計算の勉強をしていると、子供が、
「前から気になってたんだけどさあ、どうして分数のわり算はわる数を逆にしてかけたら答えが出るの?」
ときいてきた。

うんうん、そりゃ確かに疑問だ。
しかし、そもそも分数の割り算の意味の説明が難しい。

わり算というのは、例えば

4個のケーキを2人で分けると1人いくつもらえる?

とか、

4個のケーキを2個ずつ配ると何人に配れる?

とかそういう場面が浮かぶし、それは子供もわかる。

しかし、

$$2÷\frac{1}{4}$$

となると途端に意味がわからなくなる。

$$\frac{1}{4}人$$

というのはイメージできない。

$$\frac{1}{4}個$$

はかろうじてイメージできるか。

$$2÷\frac{1}{4}$$

は、

1個のケーキの4分の1を1人に配ると何人に配れるか。

という問題でイメージすることはできるだろうけど、じゃあ、

$$\frac{1}{2}÷\frac{1}{4}$$

となると、

2分の1のケーキを4分の1のケーキにして配ると何人に配れるか。

ということになって、わからなくはないが、頭がこんがらがりそう。

しかも、これを割り算の計算の仕方と結びつけてちゃんと「腑に落ちた」状態にするのは、自分の能力と、子供の現状の学力の関係ではかなり難易度が高いと思った。

だって、正直自分で考えていても頭がこんがらがってくるもん(私は完全な文系)。

そこで、その辺のことは今はあきらめて、計算の仕方だけ、なんとなく納得いくように説明しようと方針転換した。

で、説明したのが次のような内容。

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$$\frac{4}{5}÷\frac{1}{4}$$

で考えてみよう。

わり算は分数で表すことができるよね。

例えば、

$$1÷2=\frac{1}{2}$$

だよね。

では、

$$\frac{4}{5}÷\frac{1}{4}$$

を分数に書き換えてみようよ、慣れない書き方で変だろうけどさ。

$$\frac{4}{5}÷\frac{1}{4}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{4}}$$

って書けるよね。

で、この式のままじゃ意味がわかんないよね。

そこで思い出して欲しいんだけど、分数っていうのは「割合」だから、分子と分母に同じ数を書けても割合は変わらないよね。

分数の足し算をするときにも、通分するときに分母と分子に同じ数をかけるけど、あれは両方に同じ数をかけてもその数字の大きさ、値自体は変わらないからだよね。

それでさ、

$$\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{4}}$$

っていうのの分母を1になるように、分子と分母の両方に同じ数をかけると、わかりやすくなるんじゃね?

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$$分母の\frac{1}{4}$$

を1になるようにするには、

$$\frac{1}{4}×\frac{4}{1}=1$$

だから、

$$\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{4}}$$

の分母と分子の両方に

$$\frac{4}{1}$$

をかけてみよう。

$$\frac{4}{5}÷\frac{1}{4}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{4}{5}×\frac{4}{1}}{\frac{1}{4}×\frac{4}{1}}=\frac{\frac{16}{5}}{1}=\frac{16}{5}$$

となるね。

さて、この計算のわる方の数、

$$\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{4}}$$

の分母である

$${\frac{1}{4}}$$

を1にしようとすると、その数の逆数、つまり

$${\frac{4}{1}}$$

をかけることになるよね。

だから、分数の割り算を分数に置き換えて

$$\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{4}}$$

としてわかりやすくするためには、分母と分子に割る数の逆数をかけることになるわけだ。

$$\frac{\frac{4}{5}×\frac{4}{1}}{\frac{1}{4}×\frac{4}{1}}$$

というふうにね。

念のため他の例でも計算してみると、

$$\frac{4}{5}÷\frac{3}{4}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{4}{3}}=\frac{\frac{4}{5}×\frac{4}{3}}{\frac{3}{4}×\frac{4}{3}}=\frac{\frac{16}{15}}{1}=\frac{16}{15}$$

となるわけだ。

で、どっちの計算でも、分母分子の両方にわる数の逆数をかけているわけだけど、

そもそも、それは、分母を1にしてわかりやすくするためだったわけだ。

ということは、分母は1になるってわかってるから、わざわざ計算する必要はないよね。

分母の計算は省略して、分子の計算だけすればいいわけだ。

とすると、分数の割り算をするときには、

$$\frac{\frac{4}{5}×\frac{4}{1}}{\frac{1}{4}×\frac{4}{1}}$$

とか

$$\frac{\frac{4}{5}×\frac{4}{3}}{\frac{3}{4}×\frac{4}{3}}$$

の分子の部分だけ、つまり

$$\frac{4}{5}×\frac{4}{1}$$

とか

$$\frac{4}{5}×\frac{4}{3}$$

だけをすればいいってことになるよね。

だから、分数のわり算の計算は、わられる数にわる数の逆数をかければ答えが出るってことになるね。

※ 説明にあたってはこちらのサイトも参考にさせて頂いた。
→  なぜ分数の割り算は逆数をかけるのか? | パパが教える算数教室

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ふーーーーーーーう。疲れた。

しかし、説明していくうちに、見る見る子供の表情が変わった。
「うんうん、そうだね、そうだね、わかるわかる!」
おお!
「へえ、初めてわかった。おもしれーな。」
だってさ。

まあ、これだけで分数のわり算の意味がわかったとは言えないだろうな。
でも、逆数をかければいいのはそういう意味があったのか、ということが少しは腑に落ちた様子で、「納得感」はあった模様。
とりあえず、今はこれで良しとする。

「今はこんなところだけど、そのうちまた分数の計算の意味をじっくり考えてみような。」
「うん。」

ということで、この日はめでたし。

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